Φυσική αλα Πιττάρης

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

               ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ-17

1.         Οριζοντιο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο ένα του ακρο.Στο άλλο ακρο είναι δεμενο σωμα μαζας Μ που εκτελει ΑΑΤ πλατους Α.Οταν το σωμα Μ περνα από την ΘΙΤ αφηνουμε πανω του χωρις ταχυτητα μικρο ξυλινο κυβο μαζας m που αρχιζει να εκτελει και αυτος ΑΑΤ

α) Δειξτε ότι το νέο πλατος ταλαντωσης του συσσωματω    ματος είναι

                          Α₁=Α(M/(M+m))^1/2

β) Δειξτε ότι η ελαχιστη τιμη του συντελεστη οριακης στατικης τριβης ώστε να μην υπαρχει σχετικη κινηση του ξυλινου κυβου επανω στο σωμα είναι

                          μ_min=ΚΑ₁/(Μ+m)g

2.         Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο πανω του ακρο ενώ στο κατω είναι δεμενο σωμα μαζας m₂ το οποιο ηρεμει.Δευτερο σωμα μαζας m₁=m₂ βαλλεται κατακορυφα προς τα επανω από το εδαφος με αρχικη ταχυτητα υ₀ και συγκρουεται με το m₂ πλαστικα.Το συσσωματωμα μετα την κρουση φθανει εως το φυσικο μηκος του ελατηριου.Βρειτε την αρχικη ταχυτητα υ₀ του σωματος εάν η αρχικη αποσταση των δυο σωματων είναι h.

                           υ₀=[(6mg²/k +2gh)]^1/2

3.         Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο ανω του ακρο ενώ στο κατω είναι δεμενο σωμα μαζας m₁.Το σωμα m₁ είναι δεμενο με νημα με δευτερο σωμα μαζας m₂=m₁.Το συστημα των δυο σωματων εκτελει ΑΑΤ πλατους Α.

α) Δειξτε ότι το μετρο της μεγιστης και της ελαχιστης τιμης της τασης του νυματος που ασκειται στο m₂ e είναι

                            Τ_max=mg+KA/2

                            T_min=mg-KA/2

β) Εάν κοψουμε το νημα τη στιγμη που η ταχυτητα των σωματων είναι μεγιστη δειξτε ότι το πλατος ταλαντωσης του  

m₁ είναι

                             Α₁=(Α²/2 +(mg/K)²)^1/2

 4.        Σωμα εκτελει ΑΑΤ χωρις αρχικη φαση.Δειξτε ότι την στιγμη που η κινητικη ενεργεια είναι ιση με την δυναμικη ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης είναι μεγιστος

                             dK/dt=DA²ω/2

5.         Οριζοντιο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο ένα του ακρο ενώ στο άλλο είναι δεμενο σωμα μαζας Μ που ηρεμει.Στο σωμα ασκειται σταθερη οριζοντια δυναμη μετρου F που καταργειται όταν το σωμα μετατοπιζεται κατά d

Δειξτε ότι το πλατος ταλαντωσης του σωματος είναι

                                 Α=(2Fd/k)^1/2

Εάν η σταθερη δυναμη F ασκειτο στο σωμα για παντα δειξτε ότι το σωμα εκτελει ΑΑΤ και ότι το πλατος ταλαντωσης του είναι

                                 Α=F/K

    

7.         Στο αυτι ενός παρατηρητη φθανουν ταυτοχρονα δυο αρμονικοι ηχοι με συχνοτητες f₁=438 Hz και f₂=442 Hz.

Δειξτε ότι η συχνοτητα του ηχου που ακουει ο παρατηρητης είναι f=440 Hz και ότι σε 1sec ακουει να μεγιστοποιειται η ενταση του ηχου 4 φορες.

8.             Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με περιοδους Τ₁≥Τ₂.Βρειτε την σχεση των περιοδων ετσι ώστε σε χρονο ισο με τη περιοδο του διακροτηματος το σωμα να κανει μια ταλαντωση.

[Τ₁=3Τ₂]

9.         Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

              χ₁=Αημ(ωt+π/3) και χ₂=Α√3ημ(ωt-π/6)

Εάν Ε η ενεργεια της συνθετης κινησης,Ε₁και Ε₂ οι ενεργειες των αρμονικων ταλαντωσεων δειξτε ότι

                            Ε=Ε₁+Ε₂

και χ=2Αημωt οπου χ η απομακρυνση της προκυπτουσας κινησης

10.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

              χ₁=Α₁ημ(ωt+π/3) και χ₂=Α₂ημ(ωt-π/3) με Α₁=Α₂

Δειξτε ότι Ε=Ε₁=Ε₂ και ότι η χρονικη της απομακρυνσης της προκυπτουσας κινησης είναι

                          ψ=Αημωt

11.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

               χ₁=3ημωt και  χ₂=4ημ(ωt+π/2) στο SI

Δειξτε ότι τη στιγμη t=Τ/2 η απομακρυνση του σωματος είναι

χ=-4 m.

12.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με περιοδους Τ₁≥Τ₂.Δειξτε ότι το πληθος των ταλαντωσεων που εκτελει το σωμα σε χρονο ισο με την περιοδο του διακροτηματος δινεται από την σχεση

                              Ν=(Τ₁+Τ₂)/2(Τ₁-Τ₂)

13.       Σωμα εκτελει περιοδικη κινηση με εξισωση

                   χ=4συν(πt/4)ημ(3πt/4) SI

η οποια προκυπτει από την συνθεση δυο αρμονικων ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με περιοδους Τ₂≥Τ₁

Βρειτε την ταχυτητα του σωματος τη στιγμη t=1/2 sec.

14.         Σωμα εκτελει φθινουσα ταλαντωση με σταθερα επαναφορας D=100 N/m και περιοδο Τ=0,1 sec.Εαν το πλατος της ταλαντωσης δινεται από την σχεση

                                   Α=0,2e^-tln2 SI

ποσες ταλαντωσεις κανει εως το πλατος να υποδιπλασιαστει

β) ποιο το εργο της δυναμης αντιστασης σε αυτό το χρονο

γ) ποιο το ποσοστο μεταβολης της ενεργειας της ταλαντωσης σε αυτό το χρονο.

[Ν=10 ταλαν.  W_F=-1,5 J  Π=-75% ]           

15.       Σωμα εκτελει περιοδικη κινηση με περιοδο Τ=0,1 sec που προερχεται από τη συνθεση δυο αρμονικων ταλαντωσεων ιδιας διευθυνσης,ιδιας ΘΙΤ,ιδιου πλατους Α=0,2 m με παραπλησιες συχνοτητες.Εαν την στιγμη t=0 η απομακρυνση του σωματος είναι ιση με το μεγιστο πλατος της περιοδικης κινησης και σε χρονο Δt=2 sec το πλατος μηδενιζεται για πρωτη φορα βρειτε

α) την απομακρυνση του σωματος τη στιγμη t=0

β) τις συχνοτητες f₁ και f₂ των δυο αρμονικων

γ) τις χρονικες συναρτησεις των δυο αρμονικων

δ) την χρονικη συναρτηση της απομακρυνσης της περιοδικης κινησης του σωματος

ε) το πληθος των ταλαντωσεων που εκτελει το σωμα σε χρονο ισο με την περιοδο του διακροτηματος.

[χ=0,4 m, f₁=10,125 Hz, f₂=9,875 Hz x₁=0,2ημ(20,25πt+π/2)

χ₂=0,2ημ(19,75πt+π/2).

χ=0,4συνπt/4ημ(20πt+π/2)  Ν=40 ταλαν.

16.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο αρμονικες κινησεις ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με εξισωσεις

               χ₁=0,2ημ2πt  και  χ₂=0,2ημ4πt sto SI

Βρειτε α) τη χρονικη συναρτηση της απομακρυνσης της περιοδικης κινησης του σωματος

β) την απομακρυνση και τη ταχυτητα του σωματος τη στιγμη t=1/2 sec

γ) το πλατος της ταλαντωσης του σωματος τη στιγμη t=1/2 sec

δ) το πληθος των μεγιστοποιησεων του πλατους σε χρονο Δt=10 sec.

[ x=0,4συνπtημ3πt, x=0, υ=0,4π m/s, A=0  N=10 φορες

17.       Σωμα μαζας m εκτελει ΑΑΤ με σταθερα επαναφορας D=100 N/m.Εαν η χρονικη της ταχυτητας του σωματος είναι

                            υ=0,4πσυν2πt  SI

Βρειτε α) την ενεργεια της ταλαντωσης

β) τη μαζα του σωματος

[Ε=2 J,m=2,5 Kg]

18.       Σωμα μαζας m εκτελει ΑΑΤ με σταθερα επαναφορας D.Εαν τη στιγμη t=0 η απομακρυνση του σωματος είναι χ=Α δειξτε ότι τη στιγμη

                               t=π/3 (m/D)^1/2

ο λογος της κινητικης προς τη δυναμικη ενεργεια είναι

                               Κ/U=3

για πρωτη φορα.

19        Σωμα εκτελει ΑΑΤ.Ποιος ο λογος κινητικης προς δυναμικη ενεργεια όταν η απομακρυνση του σωματος είναι

χ=Α/2, χ=Α/√2, χ=Α/3, χ=Α/4

[ Κ/U=3,K/U=1,K/U=8,K/U=15]

 22.      Κατακορυφο ελατηριο είναι στερεωμενο στο ανω του ακρο ενώ στο κατω ηρεμει σωμα εχοντας παραμορφωσει το ελατηριο κατά 0,4 m.Aνηψωνουμε το σωμα εως τη θεση του φυσικου μηκους του ελατηριου και τη στιγμη t=0 το αφηνουμε ελευθερο να εκτελει ΑΑΤ Βρειτε

α) το μετρο της επιταχυνσης τη στιγμη t=0

β) σε ποσο χρονο περνα από τη θεση που ηρεμουσε για πρωτη φορα

γ) ποιο το μετρο της ταχυτητας του αυτή τη στιγμη

δ) Όταν χ=Α/8 ποιος ο λογος της κινητικης προς τη δυναμικη του ενεργεια.

Δινεται g=10 m/s²

[α=10 m/s²,Δt=0,1π sec, υ=2 m/s, K/U=63]

20.       Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ=100 Ν/m είναι στερεωμενο στο κατω ακρο του ενώ στο επανω ακρο ηρεμει σωμα Α μαζας Μ=16 Kg.Στη κατακορυφο που περνα από το σωμα Α και σε υψος h κραταμε ακινητο μικρο ξυλινο κυβο μαζας m=8 Kg.Πιεζουμε προς τα κατω το σωμα Α κατά d και τη στιγμη t=0 αφηνουμε ελευθερα και τα δυο σωματα τα οποια συγκρουονται πλαστικα τη στιγμη που το σωμα Α περνα για πρωτη φορα από τη θεση που αρχικα ισορροπουσε.Εαν αμεσως μετα την κρουση η ταχυτητα του συσσωματωματος είναι μηδεν βρειτε

α) το υψος h από το οποιο επεσε ελευθερα ο ξυλινος κυβος

β) τη παραμορφωση d του ελατηριου

γ) την απωλεια της μηχανικης ενεργειας κατά την κρουση

δ) το πλατος ταλαντωσης του συσσωματωματος.

Δινονται g=10 m/s²  π²=10

[h=2 m,d=0,4π Q=240J A=0,8m ]             

21.       Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο κατω ακρο του ενώ στο πανω ηρεμει δισκος μαζας Μ.Στο δισκο τοποθετουμε χωρις ταχυτητα σωμα μαζας m.Το συστημα εκτελει ΑΑΤ.Δειξτε ότι η ενεργεια της ταλαντωσης είναι

                             Ε=m²g²/2K

22.       Δυο ομοια ελατηρια 1 και 2 κρεμονται από δυο ακλονητα σημεια.Στο κατω ακρο του ελατηριου 1 είναι δεμενο σωμα 1 μαζας m₁ ενώ στο κατω ακρο του ελατηριου 2 είναι δεμενο σωμα 2 μαζας m₂.Κατω από το σωμα 1 δενουμε μεσω αβαρους νηματος άλλο σωμα μαζας m₂ ενώ κατω από το σωμα 2 σωμα μαζας m₁.Αρχικα τα σωματα είναι ακινητα.Καποια στιγμη κοβουμε τα νηματα και τα σωματα 1 και 2 αρχιζουν να ταλαντωνονται.Εαν Ε₁ και Ε₂ οι ενεργειες των σωματων 1 και 2 δειξτε ότι

                            Ε₁/Ε₂=m₂²/m₁²

                       

23.       Ηχητικη πηγη εκπεμπει ηχο συχνοτητας f.Με μια δευτερη πηγη δημιουργουμε ταυτοχρονα ηχο,τη συχνοτητα του οποιου μεταβαλλουμε.Σε αυτή τη διαδικασια δημιουργουνται διακροτηματα ιδιας συχνοτητας για δυο διαφορετικες συχνοτητες f₁ και f₂ της δευτερης πηγης.Δειξτε ότι

                              f=(f₁+f₂)/2

24.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης,ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

                            χ₁=Α₁ημωt  και χ₂=Α₂ημωt         

Εάν η ενεργεια της πρωτης ταλαντωσης είναι Ε₁=4J και της δευτερης Ε₂=9J δειξτε ότι η ενεργεια της συνθετης κινησης είναι Ε=25J

25. Eνας ανθρωπος ακουει ηχο συχνοτητας 100 Hz του οποιου η ενταση αυξομειωνεται 4 φορες το δευτερολεπτο.Δειξτε ότι οι συχνοτητες των αρμονικων που διεγηρουν το τυμπανο του είναι 102 Hz και 98 Hz

26.       Το συστημα σωμα-ελατηριο εκτελει εξαναγκασμενη ταλαντωση σε κατασταση συντονισμου.Εαν υποδιπλασιασουμε την μαζα του ταλαντωτη το πλατος αυξανει? μειωνεται?η παραμενει σταθερο?

27.       Το συστημα σωμα-ελατηριο εκτελει ΑΑΤ.Εαν υποδιπλασιασουμε τη μαζα του σωματος διατηροντας σταθερο το πλατος η μεγιστη κινητικη ενεργεια του σωματος αυξανει? μειωνεται?η παραμενει σταθερη?

28.       Σωμα μαζας m=10 Kg είναι δεμενο στο ακρο κατακορυφου ελατηριου σταθερας Κ και εκτελει ΑΑΤ ενεργειας Ε=50 J.Εαν όταν η δυναμικη ταλαντωσης είναι μεγιστη η δυναμικη του ελατηριου είναι μηδεν δειξτε ότι η μεγιστη δυναμικη του ελατηριου είναι 200 J

29.       Eνας μηχανικος ταλαντωτης εκτελει φθινουσα ταλαντωση με ερχικη ενεργεια Ε₀=100 J.Εαν στην διαρκεια της πρωτης περιοδου η ενεργεια που χανει είναι 40 J ε ότι η ενεργεια που χανει στην διαρκεια της δευτερης περιοδου είναι 24 J

30.       Σωμα εκτελει ΑΑΤ χωρις αρχικη φαση.Εαν στο χρονικο διαστημα από t=0 εως t=T/12 η κινητικη ενεργεια του σωματος μεταβαλλεται κατά ΔΚ=-5 J δειξτε ότι η ενεργεια της ταλαντωσης είναι Ε=20 J.

31.       Σωμα εκτελει φθινουσα ταλαντωση ώστε το πλατος να μεταβαλεται με τον χρονο συμφωνα με την σχεση Α=Α₀e^-Λt.

Εάν στο χρονικο διαστημα από t=0 εως t=3 sec η μεταβολη του πλατους είναι ΔΑ=-7^Α₀/8 βρειτε ποια στιγμη η ενεργεια της ταλαντωσης θα γινει το 50% της αρχικης της τιμης

32.       Εάν το ποσοστο μειωσης της ενεργειας ανα περιοδο ενός ταλαντωτη που εκτελει φθινουσα ταλαντωση είναι 36% δειξτε ότι το ποσοστο μειωσης του πλατους ανα περιοδο είναι 20%.

33. Κατακορυφο ελατηριο είναι στερεωμενο στο ανω ακρο ενώ στο κατω είναι δεμενο σωμα μαζας m=1 Kg που εκτελει ΑΑΤ.Εαν η χρονικη συναρτηση της ταχυτητας του σωματος είναι

                             υ=συν(10t+π/2) S.I

και θετικη φορα οριζεται η προς τα πανω βρειτε

1) την ενεργεια της ταλαντωσης

2) την συναρτηση της κινητικης ενεργειας με την απομακρυνση του σωματος και κανετε την γραφικη παρασταση

3)την μεγιστη δυναμικη ενεργεια του ελατηριου

4) τη στιγμη t=T/4 ο ταλαντωτης συγκρουεται πλαστικα με σωμα μαζας Μ=3 Kg που κινειται κατακορυφα.Εαν το συσσωματωμα αμεσως μετα την κρουση ηρεμει βρειτε την απωλεια της μηχανικης ενεργειας κατά την κρουση.

5) την χρονικη συναρτηση της απομακρυνσης του συσσωματωματος θεωροντας t=0 την στιγμη της κρουσης

                                                              Π.ΠΙΤΤΑΡΗΣ