ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

               ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ-17

1.         Οριζοντιο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο ένα του ακρο.Στο άλλο ακρο είναι δεμενο σωμα μαζας Μ που εκτελει ΑΑΤ πλατους Α.Οταν το σωμα Μ περνα από την ΘΙΤ αφηνουμε πανω του χωρις ταχυτητα μικρο ξυλινο κυβο μαζας m που αρχιζει να εκτελει και αυτος ΑΑΤ

α) Δειξτε ότι το νέο πλατος ταλαντωσης του συσσωματω    ματος είναι

                          Α₁=Α(M/(M+m))^1/2

β) Δειξτε ότι η ελαχιστη τιμη του συντελεστη οριακης στατικης τριβης ώστε να μην υπαρχει σχετικη κινηση του ξυλινου κυβου επανω στο σωμα είναι

                          μ_min=ΚΑ₁/(Μ+m)g

2.         Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο πανω του ακρο ενώ στο κατω είναι δεμενο σωμα μαζας m₂ το οποιο ηρεμει.Δευτερο σωμα μαζας m₁=m₂ βαλλεται κατακορυφα προς τα επανω από το εδαφος με αρχικη ταχυτητα υ₀ και συγκρουεται με το m₂ πλαστικα.Το συσσωματωμα μετα την κρουση φθανει εως το φυσικο μηκος του ελατηριου.Βρειτε την αρχικη ταχυτητα υ₀ του σωματος εάν η αρχικη αποσταση των δυο σωματων είναι h.

                           υ₀=[(6mg²/k +2gh)]^1/2

3.         Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο ανω του ακρο ενώ στο κατω είναι δεμενο σωμα μαζας m₁.Το σωμα m₁ είναι δεμενο με νημα με δευτερο σωμα μαζας m₂=m₁.Το συστημα των δυο σωματων εκτελει ΑΑΤ πλατους Α.

α) Δειξτε ότι το μετρο της μεγιστης και της ελαχιστης τιμης της τασης του νυματος που ασκειται στο m₂ e είναι

                            Τ_max=mg+KA/2

                            T_min=mg-KA/2

β) Εάν κοψουμε το νημα τη στιγμη που η ταχυτητα των σωματων είναι μεγιστη δειξτε ότι το πλατος ταλαντωσης του  

m₁ είναι

                             Α₁=(Α²/2 +(mg/K)²)^1/2

 4.        Σωμα εκτελει ΑΑΤ χωρις αρχικη φαση.Δειξτε ότι την στιγμη που η κινητικη ενεργεια είναι ιση με την δυναμικη ο ρυθμος μεταβολης της κινητικης είναι μεγιστος

                             dK/dt=DA²ω/2

5.         Οριζοντιο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο ένα του ακρο ενώ στο άλλο είναι δεμενο σωμα μαζας Μ που ηρεμει.Στο σωμα ασκειται σταθερη οριζοντια δυναμη μετρου F που καταργειται όταν το σωμα μετατοπιζεται κατά d

Δειξτε ότι το πλατος ταλαντωσης του σωματος είναι

                                 Α=(2Fd/k)^1/2

Εάν η σταθερη δυναμη F ασκειτο στο σωμα για παντα δειξτε ότι το σωμα εκτελει ΑΑΤ και ότι το πλατος ταλαντωσης του είναι

                                 Α=F/K

    

7.         Στο αυτι ενός παρατηρητη φθανουν ταυτοχρονα δυο αρμονικοι ηχοι με συχνοτητες f₁=438 Hz και f₂=442 Hz.

Δειξτε ότι η συχνοτητα του ηχου που ακουει ο παρατηρητης είναι f=440 Hz και ότι σε 1sec ακουει να μεγιστοποιειται η ενταση του ηχου 4 φορες.

8.             Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με περιοδους Τ₁≥Τ₂.Βρειτε την σχεση των περιοδων ετσι ώστε σε χρονο ισο με τη περιοδο του διακροτηματος το σωμα να κανει μια ταλαντωση.

[Τ₁=3Τ₂]

9.         Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

              χ₁=Αημ(ωt+π/3) και χ₂=Α√3ημ(ωt-π/6)

Εάν Ε η ενεργεια της συνθετης κινησης,Ε₁και Ε₂ οι ενεργειες των αρμονικων ταλαντωσεων δειξτε ότι

                            Ε=Ε₁+Ε₂

και χ=2Αημωt οπου χ η απομακρυνση της προκυπτουσας κινησης

10.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

              χ₁=Α₁ημ(ωt+π/3) και χ₂=Α₂ημ(ωt-π/3) με Α₁=Α₂

Δειξτε ότι Ε=Ε₁=Ε₂ και ότι η χρονικη της απομακρυνσης της προκυπτουσας κινησης είναι

                          ψ=Αημωt

11.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

               χ₁=3ημωt και  χ₂=4ημ(ωt+π/2) στο SI

Δειξτε ότι τη στιγμη t=Τ/2 η απομακρυνση του σωματος είναι

χ=-4 m.

12.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με περιοδους Τ₁≥Τ₂.Δειξτε ότι το πληθος των ταλαντωσεων που εκτελει το σωμα σε χρονο ισο με την περιοδο του διακροτηματος δινεται από την σχεση

                              Ν=(Τ₁+Τ₂)/2(Τ₁-Τ₂)

13.       Σωμα εκτελει περιοδικη κινηση με εξισωση

                   χ=4συν(πt/4)ημ(3πt/4) SI

η οποια προκυπτει από την συνθεση δυο αρμονικων ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με περιοδους Τ₂≥Τ₁

Βρειτε την ταχυτητα του σωματος τη στιγμη t=1/2 sec.

14.         Σωμα εκτελει φθινουσα ταλαντωση με σταθερα επαναφορας D=100 N/m και περιοδο Τ=0,1 sec.Εαν το πλατος της ταλαντωσης δινεται από την σχεση

                                   Α=0,2e^-tln2 SI

ποσες ταλαντωσεις κανει εως το πλατος να υποδιπλασιαστει

β) ποιο το εργο της δυναμης αντιστασης σε αυτό το χρονο

γ) ποιο το ποσοστο μεταβολης της ενεργειας της ταλαντωσης σε αυτό το χρονο.

[Ν=10 ταλαν.  W_F=-1,5 J  Π=-75% ]           

15.       Σωμα εκτελει περιοδικη κινηση με περιοδο Τ=0,1 sec που προερχεται από τη συνθεση δυο αρμονικων ταλαντωσεων ιδιας διευθυνσης,ιδιας ΘΙΤ,ιδιου πλατους Α=0,2 m με παραπλησιες συχνοτητες.Εαν την στιγμη t=0 η απομακρυνση του σωματος είναι ιση με το μεγιστο πλατος της περιοδικης κινησης και σε χρονο Δt=2 sec το πλατος μηδενιζεται για πρωτη φορα βρειτε

α) την απομακρυνση του σωματος τη στιγμη t=0

β) τις συχνοτητες f₁ και f₂ των δυο αρμονικων

γ) τις χρονικες συναρτησεις των δυο αρμονικων

δ) την χρονικη συναρτηση της απομακρυνσης της περιοδικης κινησης του σωματος

ε) το πληθος των ταλαντωσεων που εκτελει το σωμα σε χρονο ισο με την περιοδο του διακροτηματος.

[χ=0,4 m, f₁=10,125 Hz, f₂=9,875 Hz x₁=0,2ημ(20,25πt+π/2)

χ₂=0,2ημ(19,75πt+π/2).

χ=0,4συνπt/4ημ(20πt+π/2)  Ν=40 ταλαν.

16.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο αρμονικες κινησεις ιδιας διευθυνσης ιδιας ΘΙΤ με εξισωσεις

               χ₁=0,2ημ2πt  και  χ₂=0,2ημ4πt sto SI

Βρειτε α) τη χρονικη συναρτηση της απομακρυνσης της περιοδικης κινησης του σωματος

β) την απομακρυνση και τη ταχυτητα του σωματος τη στιγμη t=1/2 sec

γ) το πλατος της ταλαντωσης του σωματος τη στιγμη t=1/2 sec

δ) το πληθος των μεγιστοποιησεων του πλατους σε χρονο Δt=10 sec.

[ x=0,4συνπtημ3πt, x=0, υ=0,4π m/s, A=0  N=10 φορες

17.       Σωμα μαζας m εκτελει ΑΑΤ με σταθερα επαναφορας D=100 N/m.Εαν η χρονικη της ταχυτητας του σωματος είναι

                            υ=0,4πσυν2πt  SI

Βρειτε α) την ενεργεια της ταλαντωσης

β) τη μαζα του σωματος

[Ε=2 J,m=2,5 Kg]

18.       Σωμα μαζας m εκτελει ΑΑΤ με σταθερα επαναφορας D.Εαν τη στιγμη t=0 η απομακρυνση του σωματος είναι χ=Α δειξτε ότι τη στιγμη

                               t=π/3 (m/D)^1/2

ο λογος της κινητικης προς τη δυναμικη ενεργεια είναι

                               Κ/U=3

για πρωτη φορα.

19        Σωμα εκτελει ΑΑΤ.Ποιος ο λογος κινητικης προς δυναμικη ενεργεια όταν η απομακρυνση του σωματος είναι

χ=Α/2, χ=Α/√2, χ=Α/3, χ=Α/4

[ Κ/U=3,K/U=1,K/U=8,K/U=15]

 22.      Κατακορυφο ελατηριο είναι στερεωμενο στο ανω του ακρο ενώ στο κατω ηρεμει σωμα εχοντας παραμορφωσει το ελατηριο κατά 0,4 m.Aνηψωνουμε το σωμα εως τη θεση του φυσικου μηκους του ελατηριου και τη στιγμη t=0 το αφηνουμε ελευθερο να εκτελει ΑΑΤ Βρειτε

α) το μετρο της επιταχυνσης τη στιγμη t=0

β) σε ποσο χρονο περνα από τη θεση που ηρεμουσε για πρωτη φορα

γ) ποιο το μετρο της ταχυτητας του αυτή τη στιγμη

δ) Όταν χ=Α/8 ποιος ο λογος της κινητικης προς τη δυναμικη του ενεργεια.

Δινεται g=10 m/s²

[α=10 m/s²,Δt=0,1π sec, υ=2 m/s, K/U=63]

20.       Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ=100 Ν/m είναι στερεωμενο στο κατω ακρο του ενώ στο επανω ακρο ηρεμει σωμα Α μαζας Μ=16 Kg.Στη κατακορυφο που περνα από το σωμα Α και σε υψος h κραταμε ακινητο μικρο ξυλινο κυβο μαζας m=8 Kg.Πιεζουμε προς τα κατω το σωμα Α κατά d και τη στιγμη t=0 αφηνουμε ελευθερα και τα δυο σωματα τα οποια συγκρουονται πλαστικα τη στιγμη που το σωμα Α περνα για πρωτη φορα από τη θεση που αρχικα ισορροπουσε.Εαν αμεσως μετα την κρουση η ταχυτητα του συσσωματωματος είναι μηδεν βρειτε

α) το υψος h από το οποιο επεσε ελευθερα ο ξυλινος κυβος

β) τη παραμορφωση d του ελατηριου

γ) την απωλεια της μηχανικης ενεργειας κατά την κρουση

δ) το πλατος ταλαντωσης του συσσωματωματος.

Δινονται g=10 m/s²  π²=10

[h=2 m,d=0,4π Q=240J A=0,8m ]             

21.       Κατακορυφο ελατηριο σταθερας Κ είναι στερεωμενο στο κατω ακρο του ενώ στο πανω ηρεμει δισκος μαζας Μ.Στο δισκο τοποθετουμε χωρις ταχυτητα σωμα μαζας m.Το συστημα εκτελει ΑΑΤ.Δειξτε ότι η ενεργεια της ταλαντωσης είναι

                             Ε=m²g²/2K

22.       Δυο ομοια ελατηρια 1 και 2 κρεμονται από δυο ακλονητα σημεια.Στο κατω ακρο του ελατηριου 1 είναι δεμενο σωμα 1 μαζας m₁ ενώ στο κατω ακρο του ελατηριου 2 είναι δεμενο σωμα 2 μαζας m₂.Κατω από το σωμα 1 δενουμε μεσω αβαρους νηματος άλλο σωμα μαζας m₂ ενώ κατω από το σωμα 2 σωμα μαζας m₁.Αρχικα τα σωματα είναι ακινητα.Καποια στιγμη κοβουμε τα νηματα και τα σωματα 1 και 2 αρχιζουν να ταλαντωνονται.Εαν Ε₁ και Ε₂ οι ενεργειες των σωματων 1 και 2 δειξτε ότι

                            Ε₁/Ε₂=m₂²/m₁²

                       

23.       Ηχητικη πηγη εκπεμπει ηχο συχνοτητας f.Με μια δευτερη πηγη δημιουργουμε ταυτοχρονα ηχο,τη συχνοτητα του οποιου μεταβαλλουμε.Σε αυτή τη διαδικασια δημιουργουνται διακροτηματα ιδιας συχνοτητας για δυο διαφορετικες συχνοτητες f₁ και f₂ της δευτερης πηγης.Δειξτε ότι

                              f=(f₁+f₂)/2

24.       Σωμα εκτελει ταυτοχρονα δυο ΑΑΤ ιδιας διευθυνσης,ιδιας ΘΙΤ και ιδιας συχνοτητας με εξισωσεις

                            χ₁=Α₁ημωt  και χ₂=Α₂ημωt         

Εάν η ενεργεια της πρωτης ταλαντωσης είναι Ε₁=4J και της δευτερης Ε₂=9J δειξτε ότι η ενεργεια της συνθετης κινησης είναι Ε=25J

25. Eνας ανθρωπος ακουει ηχο συχνοτητας 100 Hz του οποιου η ενταση αυξομειωνεται 4 φορες το δευτερολεπτο.Δειξτε ότι οι συχνοτητες των αρμονικων που διεγηρουν το τυμπανο του είναι 102 Hz και 98 Hz

26.       Το συστημα σωμα-ελατηριο εκτελει εξαναγκασμενη ταλαντωση σε κατασταση συντονισμου.Εαν υποδιπλασιασουμε την μαζα του ταλαντωτη το πλατος αυξανει? μειωνεται?η παραμενει σταθερο?

27.       Το συστημα σωμα-ελατηριο εκτελει ΑΑΤ.Εαν υποδιπλασιασουμε τη μαζα του σωματος διατηροντας σταθερο το πλατος η μεγιστη κινητικη ενεργεια του σωματος αυξανει? μειωνεται?η παραμενει σταθερη?

28.       Σωμα μαζας m=10 Kg είναι δεμενο στο ακρο κατακορυφου ελατηριου σταθερας Κ και εκτελει ΑΑΤ ενεργειας Ε=50 J.Εαν όταν η δυναμικη ταλαντωσης είναι μεγιστη η δυναμικη του ελατηριου είναι μηδεν δειξτε ότι η μεγιστη δυναμικη του ελατηριου είναι 200 J

29.       Eνας μηχανικος ταλαντωτης εκτελει φθινουσα ταλαντωση με ερχικη ενεργεια Ε₀=100 J.Εαν στην διαρκεια της πρωτης περιοδου η ενεργεια που χανει είναι 40 J ε ότι η ενεργεια που χανει στην διαρκεια της δευτερης περιοδου είναι 24 J

30.       Σωμα εκτελει ΑΑΤ χωρις αρχικη φαση.Εαν στο χρονικο διαστημα από t=0 εως t=T/12 η κινητικη ενεργεια του σωματος μεταβαλλεται κατά ΔΚ=-5 J δειξτε ότι η ενεργεια της ταλαντωσης είναι Ε=20 J.

31.       Σωμα εκτελει φθινουσα ταλαντωση ώστε το πλατος να μεταβαλεται με τον χρονο συμφωνα με την σχεση Α=Α₀e^-Λt.

Εάν στο χρονικο διαστημα από t=0 εως t=3 sec η μεταβολη του πλατους είναι ΔΑ=-7^Α₀/8 βρειτε ποια στιγμη η ενεργεια της ταλαντωσης θα γινει το 50% της αρχικης της τιμης

32.       Εάν το ποσοστο μειωσης της ενεργειας ανα περιοδο ενός ταλαντωτη που εκτελει φθινουσα ταλαντωση είναι 36% δειξτε ότι το ποσοστο μειωσης του πλατους ανα περιοδο είναι 20%.

33. Κατακορυφο ελατηριο είναι στερεωμενο στο ανω ακρο ενώ στο κατω είναι δεμενο σωμα μαζας m=1 Kg που εκτελει ΑΑΤ.Εαν η χρονικη συναρτηση της ταχυτητας του σωματος είναι

                             υ=συν(10t+π/2) S.I

και θετικη φορα οριζεται η προς τα πανω βρειτε

1) την ενεργεια της ταλαντωσης

2) την συναρτηση της κινητικης ενεργειας με την απομακρυνση του σωματος και κανετε την γραφικη παρασταση

3)την μεγιστη δυναμικη ενεργεια του ελατηριου

4) τη στιγμη t=T/4 ο ταλαντωτης συγκρουεται πλαστικα με σωμα μαζας Μ=3 Kg που κινειται κατακορυφα.Εαν το συσσωματωμα αμεσως μετα την κρουση ηρεμει βρειτε την απωλεια της μηχανικης ενεργειας κατά την κρουση.

5) την χρονικη συναρτηση της απομακρυνσης του συσσωματωματος θεωροντας t=0 την στιγμη της κρουσης

                                                              Π.ΠΙΤΤΑΡΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΜΒΟΛΗΣ-ΣΤΑΣΙΜΑ-DOPPLER

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ

8-12-17

1.         Τα σημεια της υπερβολης

r₁-r₂=λ είναι σημεια ενισχυσης που ταλαντωνονται με πλατος 2Α όταν η συχνοτητα των πηγων είναι f.Δειξτε ότι εάν η συχνοτητα των πηγων υποτριπλασιαστει το πλατος ταλαντωσης των σημειων αυτων γινεται Α.

2.         Δειξτε ότι η ελαχιστη αποσταση των δυο πηγων Π₁Π₂ είναι d=λ/3 εάν το πλατος ταλατωσης των σημειων της ευθειας των πηγων που βρισκονται εκτος των πηγων είναι Α

3.         Δυο συγχρονες πηγες Π₁ και Π₂ αρχιζουν να ταλαντωνονται την στιγμη t=0 συμφωνα με την εξισωση ψ=0,1ημ2πt.

Τα κυματα διαδιδονται με ταχυτητα υ=2 m/s.Το σημειο Σ είναι σημειο ενισχυσης πανω στην ευθεια των πηγων και το πλησιεστερο του μεσου Μ του ευθυγραμμου τμηματος Π₁Π₂.Εαν η χρονικη της απομακρυνσης του σημειου Σ είναι

                  ψ_Σ=0,2ημ2π(t-1) S.I

δειξτε ότι

1) η αποσταση  των δυο πηγων είναι d=6 m

2) η αποσταση του σημειου Σ από τις δυο πηγες είναι

         r₁=4 m  και  r₂=2 m

4.         Δυο συγχρονες πηγες Π₁ και Π₂ αρχιζουν να ταλαντωνονται την στιγμη t=0 συμφωνα με την εξισωση ψ=Αημωt.

Εάν το μηκος κυματος των κυματων που παραγουν είναι λ και η αποσταση των δυο πηγων d=3λ

Δειξτε ότι

1) το πληθος των σημειων ενισχυσης που υπαρχουν στο ευθυγραμμο τμημα Π₁Π₂ είναι Κ=5

2) το πληθος των σημειων ενισχυσης που υπαρχουν στην ευθεια ε που είναι καθετη στο Π₁Π₂ και διερχεται από την Π₂ είναι Κ=4 και απεχουν από την Π₂

                   1,25λ και 4λ

3) οι χρονικες των απομακρυνσεων των σημειων Σ₁ και Σ₂ που βρισκονται στην ευθεια ε πανω από την Π₂ με το Σ₂ να είναι πλησιεστερο της Π₂ είναι

             ψ₁=2Αημ(ωt-8π)

και         ψ₂=2Αημ(ωt-4,5π)

4) την στιγμη που το ένα σημειο βρισκεται στη θεση της μεγιστης θετικης απομακρυνσης το άλλο περνα από την ΘΙΤ κινουμενο αρνητικα

5.         Δυο πηγες πλατους Α αρχιζουν να ταλαντωνονται διαδοχικα μετα από χρονο Δt=T/3 στο ιδιο σημειο.Δειξτε ότι η χρονικη της απομακρυνσης ενός σημειου που απεχει r=3λ από τις πηγες είναι         

                ψ=Αημ(ωt-19π/3)            

6.         Δυο κυματα πλατους Α συμβαλλουν σε ένα σημειο Σ με διαφορα φασης Δφ=π/3 rad.Δειξτε ότι 1) το πλατος ταλαντωσης του σημειου είναι Α√3

2) η απομακρυνση του σημειου την στιγμη που αρχιζει η συμβολη είναι ψ=Α√3/2

3) Το πληθος των ταλαντωσεων του σημειου εως να αρχισει η συμβολη είναι Ν=1/6 ταλαντωσεις

4) η διαφορα δρομων των δυο κυματων είναι Δr=λ/6

5) η ελαχιστη διαφορα φασης με την οποια πρεπει να συμβαλλουν στο σημειο ώστε το πλατος ταλαντωσης του να είναι Α είναι Δφ=2π/3 rad.

7.         Για ένα σημειο Σ η διαφορα δρομων των δυο κυματων που φθανουν σε αυτό είναι r₁-r₂=λ/2.Εαν η συχνοτητα των πηγων τριπλασιαστει δειξτε ότι το πλατος ταλαντωσης γινεται 2Α.

8.         Δειξτε ότι εάν οι δυο πηγες εχουν διαφορα φασης Δφ=π rad τα σημεια της μεσοκαθετου είναι σημεια αποσβεσης

9.         Δυο συγχρονες πηγες αρχιζουν να ταλαντωνονται την στιγμη t=0. Εάν τα κυματα διανυουν την αποσταση των δυο πηγων σε χρονο Δt=2 sec δειξτε ότι η ελαχιστη συχνοτητα ταλαντωσης των πηγων είναι ω=π rad/sec εάν θελουμε τα σημεια της ευθειας των πηγων που βρισκονται εκτος των πηγων να ταλαντωνονται με το μεγιστο πλατος

10.       Δειξτε ότι δυο διαδοχικα σημεια ενισχυσης μεταξυ των πηγων εχουν διαφορα φασης π rad

11.       Δειξτε ότι δυο διαδοχικα σημεια ενισχυσης στην ευθεια των πηγων και εντος αυτων απεχουν Δr=λ/2

12.       Ενας φελλος απεχει r₁-r₂=λ από δυο συγχρονες πηγες που ταλαντωνονται με πλατος Α και συχνοτητα f εχοντας μεγιστη κινητικη ενεργεια Κ₁ Εάν η συχνοτητα των πηγων γινει f/3 η μεγιστη κινητικη ενεργεια του φελλου είναι Κ₂ Δειξτε ότι ο λογος Κ₁/Κ₂=36

13.       Σε μια χορδη με τα ακρα της ακινητα δημιουργουνται δυο κοιλιες όταν η συχνοτητα του στασιμου είναι f₁.Ενα σημειο της χορδης Σ απεχει από το ένα ακρο λ/6 και εχει μεγιστη κινητικη ενεργεια Κ₁.Μεταβαλουμε την συχνοτητα του στασιμου ώστε στην χορδη να σχηματιζεται μια κοιλια.Τοτε η κινητικη ενεργεια του σημειου γινεται Κ₂.Δειξτε ότι ο λογος

                    Κ₁/Κ₂=12

14.       Δυο συγχρονες πηγες αρχιζουν να ταλαντωνονται την στιγμη t=0 συμφωνα με την εξισωση ψ=Αημωt.Τα κυματα διαδιδονται με ταχυτητα υ.Δειξτε ότι το πλατος ταλαντωσης ενός σημειου Σ είναι Α√2 εάν την στιγμη που αρχιζει η συμβολη η απομακρυνση του σημειου είναι Α.

Δειξτε ότι τα δυο τρεχοντα κυματα συμβαλλουν στο σημειο Σ με διαφορα φασης π/2 rad.

π.πιτταρης   20-12-17

Προβληματα Doppler

1.         Δυο ομοιες ακινητες πηγες S₁ και S₂ εκπεμπουν ηχο συχνοτητας f_s=680 Hz.Ενας παρατηρητης κινειται μεταξυ των πηγων με σταθερη ταχυτητα υ_Α.Εαν f₁/f₂=43/42 οπου f₁ η φαινομενη συχνοτητα της S₁ και f₂ φαινομενη συχνοτητα της S₂ και η ταχυτητα του ηχου στον αερα είναι υ=340 m/s δειξτε ότι

α) η ταχυτητα του παρατηρητη είναι υ_Α=4 m/s

β) οι συχνοτητες f₁ και f₂ είναι f₁=688 Hz και f₂=672 Hz.

γ) η μετατοπιση του παρατηρητη στον χρονο που ακουει 17 μεγιστα εντασης είναι Δχ=4 m

δ) η συχνοτητα του ηχου που αντιλαμβανεται ο παρατηρητης είναι f_A=680 Hz.

e) ο χρονος μεταξυ δυο διαδοχικων μεγιστων εντασης είναι

                Δt=υ/2f_sυ_Α

1) με θεωρια στασιμου και 2) με θεωρια Doppler και διακροτηματος

2.         Ενας παρατηρητης και μια πηγη που εκπεμπει ηχο f_s=5KHz βρισκονται ακινητοι στο ιδιο σημειου του χωρου.Την στιγμη t=0 η πηγη αρχιζει να κινειται ευθυγραμμα με σταθερη επιταχυνση α=3 m/s².Ποια συχνοτητα ακουει ο παρατηρητης την στιγμη t=170 sec εάν η ταχυτητα του ηχου στον αερα είναι υ=340 m/s

[ f_A=f_s/(1+2at/υ)^1/2=2,5 KHz ]

3.         Mια ηχητικη πηγη συχνοτητας f_s=1800 Hz κινειται με σταθερη ταχυτητα υ_s σε ευθυγραμμη τροχια που απεχει από ακινητο παρατηρητη αποσταση L=250 m.Eαν υ_s/υ=n=0,8 οπου υ =340 m/s η ταχυτητα του ηχου στον αερα δειξτε ότι

α) η συχνοτητα που ακου ο παρατηρητης την στιγμη που η αποσταση πηγης παρατηρητη είναι η ελαχιστη είναι

                   f_A=f_s/(1-n²)

b) η αποσταση πηγης παρατηρητη την στιγμη που η συχνοτητα που ακουει ο παρατηρητης είναι είναι f_A=f_s είναι

                   d₂=L(1+n²)^1/2       

 4.        Aκινητη ηχητικη πηγη εκπεμπει ηχο ο οποιος ανακλαται σε ένα εμποδιο που πλησιαζει την πηγη με ταχυτητα υ₁.Εαν η ταχυτητα του ηχου στον αερα είναι υ δειξτε ότι το ποσοστο μεταβολης του μηκους κυματος λογω της ανακλασης του στο εμποδιο είναι

                   Π=-2υ₁/(υ+υ₁)100%

5.         Ενας παρατηρητης είναι ακινητος στην ΘΙΤ μιας ηχητικης πηγης που εκτελει ΑΑΤ πλατους Α και με μεγιστη ταχυτητα ταλαντωσης υ_max.Eαν την στιγμη t=0 η πηγη περνα από την ΘΙΤ κινουμενη προς τα θετικα δειξτε ότι την στιγμη που η συχνοτητα του ηχου που ακουει ο παρατηρητης είναι f_A=f_s για πρωτη φορα η απομακρυνση της πηγης είναι

                    χ=Αημ(υ_m/υ+π/2)

οπου υ η ταχυτητα του ηχου . 

6.         Δυο ομοιες πηγες ηχου συχνοτητας f_s=680 Hz κινουνται στην ιδια ευθεια με την ιδια ταχυτητα υ_s και με την ιδια φορα.Ενας παρατηρητης βρισκεται ακινητος μεταηυ των πηγων.Εαν η συχνοτητα του διακροτηματος που ακουει ο παρατηρητης είναι f_Δ= 2 Hz και η ταχυτητα του ηχου είναι υ=340 m/s δειξτε ότι η ταχυτητα των πηγων δινεται από την σχεση

          υ_s=υf_s/f_Δ[(1+f_Δ²/f_s²)^1/2-1]

7.